Question

若关于x的方程x²-2mx+m+6=0的两实根为x₁，x₂，y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的取值范围是（　　）

• A、y≥

  49

  4

• B、y≥8
• C、y≥18
• D、y＞-

  49

  4

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由方程x²-2mx+m+6=0的两实根为x₁，x₂，可得：△≥0，即m≤-2，或m≥3，且x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m+6，进而可将y=（x₁-1）²+（x₂-1）²化为：y=4m²-6m-10（m≤-2，或m≥3）的形式，结合二次函数的图象和性质可得答案．

解答： 解：∵方程x²-2mx+m+6=0的两实根为x₁，x₂，
∴△=4m²-4（m+6）≥0，即m≤-2，或m≥3，
且x₁+x₂=2m，x₁•x₂=m+6，
则y=（x₁-1）²+（x₂-1）²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+2=4m²-2（m+6）-4m+2=4m²-6m-10，
故当m=3时，y取最小值8，无最大值，
即y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的取值范围是y≥8，
故选：B

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．