Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，
（1）比较f（-3）与f（π）的大小
（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件将f（x）的自变量的值都变到f（x）的单调增区间：[0，+∞）上，f（-3）=f（3），f（3）＜f（π），所以f（-3）＜f（π）；
（2）根据lgx在区间[0，+∞）上，和不在该区间上对lgx的取值进行讨论：lgx≥0时，则有1＜lgx，所以便可解得x＞10；lgx＜0时，f（lgx）=f（-lgx），则有1＜-lgx，所以解得0＜x＜

1

10

，对这两种情况得到的x求并集即得x的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）是R上的偶函数；
∴f（-3）=f（3），f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，3＜π；
∴f（3）＜f（π），即f（-3）＜f（π）；
（2）若lgx≥0，即x≥1，根据f（x）在[0，+∞）上是增函数，由f（1）＜f（lgx）得：1＜lgx，
∴x＞10；
若lgx＜0，即0＜x＜1，f（lgx）=f（-lgx），所以由f（1）＜f（lgx）得：1＜-lgx，
∴0＜x＜

1

10

；
∴综上得x的取值范围是(0，

1

10

)∪(10，+∞)．

点评：考查偶函数、单调递增函数的概念，以及根据函数单调性比较函数值的大小，解不等式，及对数函数的单调性．