Question

已知矩阵A=

2 n m 1

的一个特征值为λ=2，它对应的一个特征向量为

α

=

1 2

．
（1）求m与n的值；　　　　　
（2）求A^-1．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算,逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（1）根据特征值、特征向量的定义的定义，建立方程，利用矩阵的乘法法则化简求出m与n的值；
（2）利用待定系数法求A^-1．

解答： 解：（1）由题知：

2 n m 1

1 2

=2

1 2

即

2+n=2 m+2=4

，所以m=2，n=0；
（2）由（1）知A=

2 0 2 1

，
设A^-1=

a b c d

，则

2 0 2 1

a b c d

=

1 0 0 1

，
所以

2a=1 2b=0 2a+c=0 2b+2d=1

，
所以a=

1

2

，b=0，c=-1，d=

1

2

，
所以A^-1=

1 2 0 -1 1 2

．

点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．