Question

已知数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n+1•（1+a_n）=1．
（1）试计算a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想|a_n+1-a_n|与

1

15

(

2

5

)n-1（其中n∈N^*）的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列的概念及简单表示法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用数列递推式，代入计算，即可求a₂、a₃、a₄，a₅
（2）由（1）求出|a_n+1-a_n|，计算

1

15

(

2

5

)n-1的前几项，从而猜想|a_n+1-a_n|≤

1

15

(

2

5

)n-1，利用数学归纳法即可证明．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

2

3

，a_n+1•（1+a_n）=1．
∴a₂=

1

1+ 2 3

=

3

5

，a₃=

1

1+ 3 5

=

5

8

，a₄=

1

1+ 5 8

=

8

13

，a₃=

1

1+ 8 13

=

13

21

．
（2）由（1）得，|a₂-a₁|=

1

15

，|a₃-a₂|

1

40

，|a₄-a₃|=

1

104

，|a₅-a₄|=

1

273

；
而n分别取1，2，3，4时，

1

15

(

2

5

)n-1分别为：

1

15

，

2

75

，

4

375

，

8

1875

，
猜想|a_n+1-a_n|≤

1

15

(

2

5

)n-1．
下面用数学归纳法证明猜想．
①当n=1时，已经证明；
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时猜想成立，即|a_k+1-a_k|≤

1

15

(

2

5

)k-1，由a₁=

2

3

，a_n+1=

1

1+an

，且0＜a₁＜1
∴0＜a_n＜1，∴

1

2

＜an+1=

1

1+an

＜1且

1

2

＜a1=

2

3

＜1∴

1

2

＜an＜1，
那么，当n=k+1时，∵a_k+1•（1+a_k）=（1+

1

1+ak

）•（1+a_k）=2+a_k＞2+

1

2

=

5

2

，
∴|a_k+2-a_k+1|=|

1

1+ak+1

-

1

1+ak

|=

|ak+1-ak|

(1+ak+1)(1+ak)

≤

1 15 ( 2 5 )k-1

(1+ak+1)(1+ak)

≤

1

15

(

2

5

)k-1•

2

5

=

1

15

(

2

5

)k也就说，当n=k+1时命猜想也成立．
综上由①②可知，猜想成立．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．