Question

如图，已知定点F及定直线l，直线m经过F与l垂直，垂足为K，|FK|=p（p＞0），动圆P经过F与l相切．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求出动圆圆心P轨迹C的方程；
（Ⅱ）经过点F的直线交（Ⅰ）中轨迹C于A、B两点，点C在直线l上，且BC⊥l．试问，直线AC与m的交点是否在轨迹C上？若不在，请说明理由；若在，请给予证明．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出P点轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，以直线m为x轴，KF的垂直平行线为y轴建立直角坐标系，能求出动圆圆心P轨迹C的方程．
（Ⅱ）经过点F的直线AB的方程设为x=my+

p

2

，代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线AC与m的交点在轨迹C上．

解答： （Ⅰ）解：∵动圆P经过F与l相切，
∴P到F及l的距离相等，
∴P点轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线．（2分）
以直线m为x轴，KF的垂直平行线为y轴建立直角坐标系，
∴动圆圆心P轨迹C的方程是y²=2px（p＞0）．（4分）
（Ⅱ）解：∵抛物线的焦点为F（

p

2

，0），准线l：x=-

p

2

∴经过点F的直线AB的方程设为x=my+

p

2

，
代入抛物线方程得y²-2pmy-p²=0．（6分）
若记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁，y₂是该方程的两个根，
∴y1y2=-p2．…（8分）
∵BC∥x轴，且点C在准线x=-

p

2

上，
∴点C的坐标为(-

p

2

，y2)，
∴直线CO的斜率为k=

y2

- p 2

=

2p

y1

=

y1

x1

，
∴k也是直线OA的斜率，
∴直线AC经过原点O，又∵抛物线经过原点，
∴直线AC与m的交点在轨迹C上．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查两直线的交点是否在抛物线在的判断与求法，解题时要认真审题，注意抛物线定义和简单性质的灵活运用．