Question

5．在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD中点．
（Ⅰ）求证：EN∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PEB；
（Ⅲ）求三棱锥M-PBE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AD∥BC且BC?平面PBC，可得AD∥平面PBC．再由线面平行的性质可得AD∥MN．得到MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC$．结合E为AD中点，可得DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC$，则MN∥DE，MN=DE．得到四边形EDMN为平行四边形．从而得到EN∥平面PCD；
（Ⅱ）连接BE、BD，由已知可得BE⊥AD．同理可得PE⊥AD，再由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEB．进一步得到BC⊥平面PEB；             
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知MN为M到平面PEB的距离．然后求解三角形$PE=BE=\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，代入棱锥体积公式可得三棱锥M-PBE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：∵AD∥BC且BC?平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
又∵平面ADMN经过AD与平面PBC交于MN，
∴AD∥MN．
∵N为PB中点，∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥BC，MN=$\frac{1}{2}BC$．
又∵E为AD中点，∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}BC$，则MN∥DE，MN=DE．
∴四边形EDMN为平行四边形．
∴EN∥DM．
又∵DN?平面PCD，
∴EN∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：连接BE、BD，
∵AD=AB且∠DAB=60°，
∴△ADB为等边三角形．
∴BE⊥AD．
同理，在等边△PAD中，PE⊥AD，
又BE∩PE=E，∴AD⊥平面PEB．
又BC∥AD，∴BC⊥平面PEB；             
（Ⅲ）解：BC∥MN，∴MN⊥平面PEB，
∴MN为M到平面PEB的距离．
∵PE⊥平面ABCD，
∴PE⊥BE，即∠PEB=90°．
又$PE=BE=\sqrt{3}$，MN=$\frac{1}{2}BC=1$，
∴${V}_{M-PBE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×1=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查空间中直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．