Question

如图，三棱柱ADF-BCE中，除DF、CE外，其他的棱长均为2，AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，M，N分别是AC，BF上的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADF；
（Ⅱ）求直线MN与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取AB中点G，连接NG，MG，容易证明平面MNG∥平面ADF，所以MN∥平面ADF；
（Ⅱ）容易说明角NMG是直线MN与平面ABCD所成角，所以在Rt△MNG中，NG=MG=1，所以∠NMG=45°．

解答： 证明：（Ⅰ）如图，取AB中点G，连接MG，NG，∵N是BF中点，∴NG∥AF，且NG=

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AF=1，AF?平面ADF，∴NG∥平面ADF；
同理可得MG∥平面ADF，NG∩MG=G，∴平面MNG∥平面ADF，MN?平面MNG，∴MN∥平面ADF；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AF⊥AB，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD；
∵NG∥AF，∴NG⊥平面ABCD；
∴∠NMG是直线MN与平面ABCD所成角，由（Ⅰ）知MG=

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BC=1，又NG=1，∴在Rt△MNG中，∠NMG=45°；
即直线MN与平面ABCD所成角的大小为45°．

点评：考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质，线面角的定义及求解．