Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax+1．
（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由条件“f（x）在x=1处取得极值”可得f′（1）=0，解方程即可；
（2）先求导数f′（x），然后讨论a的值，判断f′（x）的正负，进而得到f（x）在[0，1]上的单调性，即可得到f（x）在[0，1]上的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-a，
因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，解得a=1；
（2）f′（x）=x²-a，
①当-a≥0，即a≤0时，f′（x）=x²≥0，
则f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
所以f（x）在[0，1]上是增函数，
故f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；
②当-a＜0，即a＞0时，
由f′（x）=x²-a＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，所以f（x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；
由f′（x）=x²-a＜0得-

a

＜x＜

a

，所以f（x）的单调减区间为（-

a

，

a

）；
所以当a≥1时，f（x）在[0，1]上单调递减，
所以f（x）的最小值为f（1）=

4

3

-a；
当0＜a＜1时，f（x）在[0，

a

）上单调递减，在（

a

，1]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f（

a

）=

1

3

（

a

）³-a

a

+1=1-

2

3

a

a

；
综上所述，当a≤0时，f（x）的最小值为f（0）=1；
当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（

a

）=

1

3

（

a

）³-a

a

+1=1-

2

3

a

a

；
当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=

4

3

-a．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．