Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别在BB₁，DD₁上，且AM⊥A₁B，AN⊥A₁D．
（1）求证：A₁C⊥平面AMN；
（2）当AB=2，AD=2，A₁A=3时，问在线段AA₁上是否存在一点P使得C₁P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出A₁C⊥AM，A₁C⊥AN，由此能证明A₁C⊥平面AMN．
（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段AA₁上存在一点P使得C₁P∥平面AMN．

解答： （1）证明：∵CB⊥平面A₁B，
∴A₁C在平面A₁B上的射影为A₁B，
由AM⊥A₁B，AM?平面A₁B，得A₁C⊥AM，
同理可证A₁C⊥AN，
又∵AM∩AN=A，
∴A₁C⊥平面AMN．
（2）解：以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AB=2，AD=2，A₁A=3，
M，N分别在BB₁，DD₁上，且AM⊥A₁B，AN⊥A₁D，
∴A（2，2，0），N（2，0，z），M（0，2，y），
A₁（2，2，3），B（0，2，0），D（2，0，0），C₁（0，0，3），
∴

AM

=（-2，0，y），

AN

=（0，-2，z），

A1B

=（-2，0，-3），

A1D

=（0，-2，-3），
∵

AM

•

A1B

=4-3y=0，解得y=

4

3

，∴

AM

=(-2，0，

4

3

)，
∵

AN

•

A1D

=4-3z=0，解得z=

4

3

，∴

AN

=（0，-2，

4

3

），
设平面AMN的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • AM =-2x+ 4 3 z=0 n • AN =-2y+ 4 3 z=0

，取z=3，得

n

=（2，2，3），
设线段AA₁上是否存在一点P（2，2，t），使得C₁P∥平面AMN，
则

C1P

=（2，2，t-3），
∵C₁P∥平面AMN，∴

C1P

•

n

=4+4+3t-9=0，解得t=

1

3

．
∴P（2，2，

1

3

）．
∴线段AA₁上存在一点P（2，2，

1

3

），使得C₁P∥平面AMN．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．