题目内容
已知集合A={x∈R||x-1|+|x-2|≤3}
（Ⅰ）求A的解集；
（Ⅱ）若x∈A，求f（x）=
+
的值域．
（Ⅰ）求A的解集；
（Ⅱ）若x∈A，求f（x）=
| |2x+2| |
| |x-3| |
考点：函数的值域,绝对值不等式的解法
专题：导数的综合应用,不等式
分析：（Ⅰ）讨论x的取值，去掉绝对值，解不等式|x-1|+|x-2|≤3，求出集合A；
（Ⅱ）由x∈A，设
=t，0≤t≤
，求出x，把函数f（x）化为g（t），利用导数求出g（t）的取值范围，即得f（x）的值域．
（Ⅱ）由x∈A，设
| 3-x |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵不等式|x-1|+|x-2|≤3，
∴当x≤1时，-（x-1）-（x-2）≤3，
解得x≥0，即0≤x≤1；
当1＜x≤2时，（x-1）-（x-2）≤3，
解得x∈R，即1＜x≤2；
当x＞2时，（x-1）+（x-2）≤3，
解得x≤3，即2＜x≤3；
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤3}；
∴集合A={x|0≤x≤3}；
（Ⅱ）∵x∈A，
∴函数f（x）=
+
；
设
=t，0≤t≤
，
则x=3-t2，∴
=
；
∴函数f（x）可化为
g（t）=
+t，t∈[0，
]；
∴g′（t）=
×
+1，
令g′（t）=0，解得t=
，
∴g（
）=
+
=2
；
又g（0）=2
，g（
）=
+
，
∴2
≤g（t）≤2
；
∴f（x）的值域为[2
，2
]．
∴当x≤1时，-（x-1）-（x-2）≤3，
解得x≥0，即0≤x≤1；
当1＜x≤2时，（x-1）-（x-2）≤3，
解得x∈R，即1＜x≤2；
当x＞2时，（x-1）+（x-2）≤3，
解得x≤3，即2＜x≤3；
综上，不等式的解集为{x|0≤x≤3}；
∴集合A={x|0≤x≤3}；
（Ⅱ）∵x∈A，
∴函数f（x）=
| 2x+2 |
| 3-x |
设
| 3-x |
| 3 |
则x=3-t2，∴
| 2x+2 |
| 8-2t2 |
∴函数f（x）可化为
g（t）=
| 8-2t2 |
| 3 |
∴g′（t）=
| 1 |
| 2 |
| -4t | ||
|
令g′（t）=0，解得t=
| 2 | ||
|
∴g（
| 2 | ||
|
8-
|
| 2 | ||
|
| 3 |
又g（0）=2
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴2
| 2 |
| 3 |
∴f（x）的值域为[2
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用以及求函数的值域问题，解题时应去掉绝对值符号，利用导数求函数在闭区间上的最值，从而求出值域，是中档题．
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