Question

4．给出下列命题：
①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；
②a，b∈R，若a＞b，则a³＞b³；
③若a＜b，则$\frac{b}{a}$＜$\frac{b+x}{a+x}$；
④设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂₀₁₆-S₁=1，则S₂₀₁₇＞1．
其中正确命题的序号是①②④．

Answer 1

分析 由正弦定理及同角三角函数的基本关系判断①；由不等式的性质判断②；举例说明③错误；由已知结合等差数列的通项公式及前n项和推出S₂₀₁₇＞1判断④．

解答 解：①，△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，利用同角三角函数的基本关系可得cosA＜cosB，
由sinA＞sinB＞0，得sin²A＞sin²B，∴1-2sin²A＜1-2sin²B，则cos2A＜cos2B，故①正确；
②，a，b∈R，若a＞b，由不等式的性质得a³＞b³，故②正确；
③，取a=1，b=3，x=1，满足a＜b，$\frac{b}{a}$＞$\frac{b+x}{a+x}$，故③错误；
④，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂₀₁₆-S₁=1，则a₂+a₃+…+a₂₀₁₆=1，
∴2015a₁+（d+2d+…+2015d）=1，则$2015{a}_{1}+\frac{（d+2015d）×2015}{2}=1$，
∴${a}_{1}+1008d=\frac{1}{2015}$，即${a}_{1009}=\frac{1}{2015}$，则S₂₀₁₇=2017${a}_{2019}=2017×\frac{1}{2015}$＞1，故④正确．
∴正确命题的个数是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形中的边角关系，训练了等差数列通项公式及前n项和的应用，是中档题．