Question

14．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁=B₁C₁=a，A₁B₁=A₁A=2，点D，E分别为棱B₁B，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面BEC₁；
（Ⅱ）当a为何值时，异面直线AD与BC所成的角为60°？

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明C₁E⊥A₁B₁．C₁E⊥AD．AD⊥BE．然后证明AD⊥平面BEC₁．
（Ⅱ）取C₁C的中点F，连结DF，AF．说明∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，在△ADF中，由余弦定理，解得a的值．

解答 解：（Ⅰ）因为三棱柱是直棱柱，
所以平面A₁B₁C₁⊥平面A₁B₁BA．
因为A₁C₁=B₁C₁，E为A₁B₁的中点，
所以C₁E⊥A₁B₁．
所以C₁E⊥平面A₁B₁BA．
因为AD?平面A₁B₁BA，
所以C₁E⊥AD．
因为A₁B₁=A₁A=2，点D，E分别为棱B₁B，A₁B₁的中点，
所以AD⊥BE．
因为C₁E?平面BEC₁，BE?平面BEC₁，C₁E∩BE=E，
所以AD⊥平面BEC₁．…（6分）
（Ⅱ）取C₁C的中点F，连结DF，AF．
因为DF∥BC，
所以∠ADF为异面直线AD与BC所成的角，即∠ADF=60°．
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
所以$AD=\sqrt{5}$．
在Rt△AFC中，AC=a，CF=1，
所以$AF=\sqrt{{a^2}+1}$．
显然DF=BC=a．
在△ADF中，由余弦定理，得$cos∠ADF=\frac{{A{D^2}+D{F^2}-A{F^2}}}{2AD•DF}$．
所以$\frac{1}{2}=\frac{{5+{a^2}-（{a^2}+1）}}{{2\sqrt{5}•a}}$，解得$a=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．…（13分）

点评 本题考查异面直线所成角，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．