Question

9．已知数列{a_n}中各项都大于1，前n项和为S_n，且满足a_n²+3a_n=6S_n-2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）求使得T_n＜$\frac{m}{36}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，当n≥2时，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，a_n²-a_n-1²=3a_n+3a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=3（a_n+a_n-1），由a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=3，当n=1时，a₁=2，根据等差数列的通项公式，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）由题意可得T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{m}{36}$≥$\frac{1}{6}$，即可求得对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

解答 解：（1）由a_n²+3a_n=6S_n-2，即6S_n=a_n²+3a_n+2，
当n≥2时，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
两式相减得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1，整理得：a_n²-a_n-1²=3a_n+3a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=3（a_n+a_n-1），
∵数列{a_n}中各项都大于1，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=3，
当n=1时，a₁²+3a₁=6S₁-2．解得：a₁=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公差的等差数列，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]，
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$），
=$\frac{1}{2（3n+2）}$，
T_n=$\frac{1}{2（3n+2）}$，
（3）T_n＜$\frac{m}{36}$对所有n∈N^*都成立的最小正整数m，
T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
即$\frac{m}{36}$≥$\frac{1}{6}$，即m≥6
∴所有n∈N^*对所有n∈N^*都成立的最小正整数m=6．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及其应用，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．