Question

17．双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．

Answer 1

分析 先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），设出对应的双曲线和椭圆方程，再利用点P（3，4）适合双曲线的渐近线和椭圆方程，就可求出双曲线与椭圆的方程．

解答 解：由共同的焦点F₁（0，-5），F₂（0，5），
可设椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}-25}$=1，
双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{25-{b}^{2}}$=1，
点P（3，4）在椭圆上，$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{a}^{2}-25}$=1，解得a²=40，
双曲线的过点P（3，4）的渐近线为y=$\frac{4}{3}$x，
故$\frac{{b}^{2}}{25-{b}^{2}}$=$\frac{16}{9}$，解得b²=16．
所以椭圆方程为：$\frac{{y}^{2}}{40}$+$\frac{{x}^{2}}{15}$=1；
双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．