Question

已知a、b、c、d为非负实数，f（x）=

ax+b

cx+d

（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠-

d

c

，对任意的实数x均有f（f（x））=x成立，试求出f（x）值域外的唯一数．

Answer 1

考点：函数的值

专题：计算题

分析：由题意先化简f（f（x））=x得：（a+d）cx²+（d²-a²）x-b（a+d）=0，由恒成立可得a+d=0，且d²-a²=0，即d=-a，再把f（19）=19，f（97）=97代入化简求出a、b、c、d的关系，从而求出f（x）的解析式，利用分裂常数法化简解析式后，即可得到答案．

解答： 解：由题设，对任意实数x≠-

d

c

有f（f（x））=x，即

a• ax+b cx+d +b

c• ax+b cx+d +d

=x，
化简，得（a+d）cx²+（d²-a²）x-b（a+d）=0，
由于上述方程对x≠-

d

c

恒成立，故a+d=0，且d²-a²=0，所以d=-a．…（10分）
又f（19）=19，f（97）=97，即19、97是方程

ax+b

cx+d

=x的两个根，
即方程是cx²+（d-a）x-b=0的两个根，
故由韦达定理，得

a-d

c

=116，-

d

c

=-1843，
结合d=-a，得a=58c，b=-1843c，d=-58c，
所以f(x)=

58x-1843

x-58

=58+

1521

x-58

．
于是f（x）取不到58这个数，即58是f（x）值域外的唯一的数．…（20分）

点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，函数恒成立问题，以及分裂常数法化简解析式，考查化简计算能力和逻辑思维能力，属于难题．