Question

在平面直角坐标系这个xOy中，椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，c=

a2-b2

），右焦点为F，直线L：x=

a2

c

，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d₁，F到L的距离为d₂，若d₂=

6

d₁，则椭圆C的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设B（0，b），F（c，0），求出直线BF的方程，运用点到直线的距离公式，得到d₁，d₂，再由条件得到a，b，c的方程，由离心率公式解关于e的方程，即可得到．

解答： 解：设B（0，b），F（c，0），
则直线BF：

x

c

+

y

b

=1，则d₁=

|1|

1 c2 + 1 b2

=

bc

b2+c2

=

bc

a

，
d₂=

a2

c

-c=

a2-c2

c

=

b2

c

，
由于d₂=

6

d₁，则

b2

c

=

6 bc

a

，
即有ab=

6

c²，则a²（a²-c²）=6c⁴，
由于e=

c

a

，则有6e⁴+e²-1=0，
解得，e²=

1

3

，即e=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查点到直线的距离公式的运用，考查离心率的求法，属于中档题．