Question

设数列{a_n}前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）求a_n．
（2）若存在二次函数f（x）=ax²（a≠0），使数列{

f(n)

anan+1

}前n项和T_n=

2n2+2n

2n+1

，求f（x）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得Sn=nan-n2+n，从而得到a_n-a_n-1=2，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

=

an2

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法求出T_n=

an3

2n+1

，由数列{

f(n)

anan+1

}前n项和T_n=

2n2+2n

2n+1

，得a=

2n+2

n2

，由此能求出f（x）．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1，
∴Sn=nan-n2+n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=nan-n2+n-[（n-1）a_n-1-（n-1）²+n-1]
整理，得（n-1）a_n-（n-1）a_n-1+2-2n=0，
∴a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}是首项为a₁=1，公差为d=2的等差数列，
∴a_n=2n-1．
（2）∵二次函数f（x）=ax²（a≠0），
∴

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

=

an2

4n2-1

=

a

4

+

a

8

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），

an2

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=n×

a

4

+

a

8

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

an(n+1)

2(2n+1)

，
又由数列{

f(n)

anan+1

}前n项和T_n=

2n2+2n

2n+1

，
则

an(n+1)

2(2n+1)

=

2n2+2n

2n+1

，
则a=4，
故f（x）=4x²．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．