题目内容

已知向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（cosx，-1）．
（1）当
a
∥
b
时，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f（x）=（
a
+
b
）•
b
在[-
π
2
，0]上的最大值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）当
a
∥
b
时可得tanx=-
3
2
，可得2cos2x-sin2x=
2cos2x-sin2x
cos2x+sin2x
，化为切函数，代值计算可得；
（2）由向量和三角函数的知识可得f（x）=
2
2
sin（2x+
π
4
），由x的范围可得．
解答： 解：（1）当
a
∥
b
时，-sinx=
3
2
cosx，
∴tanx=
sinx
cosx
=-
3
2
，
∴2cos2x-sin2x=
2cos2x-sin2x
cos2x+sin2x

=
2cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x

=
2-2tanx
1+tan2x
=
2-2(-
3
2
)
1+(-
3
2
)2
=
20
13
；
（2）f（x）=（
a
+
b
）•
b

=
a
•
b
+
b
2=sinxcosx-
3
2
+cos2x+1
=
1
2
sin2x-
3
2
+
1+cos2x
2
+1
=
1
2
sin2x+
1
2
cos2x=
2
2
sin（2x+
π
4
），
∵x∈[-
π
2
，0]，∴2x+
π
4
∈[-
3π
4
，
π
4
]，
∴sin（2x+
π
4
）∈[-
2
2
，
2
2
]，
∴当sin（2x+
π
4
）=
2
2
时，f（x）=（
a
+
b
）•
b
取最大值
1
2
．
点评：本题考查平面向量与三角函数的综合应用，熟练掌握公式是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
设集合M={x|y=
x-2
，x∈R}，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（　　）
A、∅B、NC、[0，+∞）D、M
函数f（x）（x∈R）满足：对一切x∈R都有f（x）≥0且f（x+1）=
7-f2(x)
，当x∈[0，1）时，f（x）=
x+2(0≤x＜
5
-2)
5
(
5
-2≤x＜1)
，则f（2013-
3
）=（　　）
A、2
2
3
-3
B、2-
3
C、
2
D、2+
3
设数列{an}前n项和为Sn，a1=1，an=
Sn
n
+n-1．
（1）求an．
（2）若存在二次函数f（x）=ax2（a≠0），使数列{
f(n)
anan+1
}前n项和Tn=
2n2+2n
2n+1
，求f（x）．
已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：
（1）x1x2为定值；
（2）
1
|FA|
+
1
|FB|
为定值．
已知锐角α，β满足sinβ=mcos（α+β）•sinα（m＞0，α+β≠
π
2
），若x=tanα，y=tanβ，
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）当α∈[
π
4
，
π
2
）时，求（1）中函数y=f（x）的最大值．
若关于x的不等式ax2+7x+4＞0的解集是{x|-
1
2
＜x＜4}．
（1）求关于x的不等式 ma•x2+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）的解集；
（2）若关于x的不等式 ma•x2+（m+a）x+3+a＞0恒成立，求实数m的取值范围．
已知直线m：y=2x-16，抛物线C：y2=ax（a＞0）．
（1）当抛物线C的焦点在直线m上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程．
类比平面直角坐标系中△ABC的重心G（
.
x
，
.
y
）的坐标公式
.
x
=
x1+x2+x3
3
.
y
=
y1+y2+y3
3
（其中A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）），猜想以A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2）、C（x3，y3，z3）、D（x4，y4，z3）为顶点的四面体A-BCD的重心G（
.
x
，
.
y
，
.
z
）的公式为
 
．

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