Question

设函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若0＜a＜1，解不等式f（x²+6x）+f（4-x）＜0；
（3）若f（1）=

3

2

，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）0＜a＜1，不等式即 f（x²+6x）＜f（x-4），根据f（x）=a^x-a^-x 在R上单调递减，可得x²+6x＞x-4，由此求得不等式的解集．
（3）由f（1）=

3

2

，求得得a=2，令t=2^x-2^-x，由f（x）=2^x-2^-x为增函数，x≥1，可得t≥f（1）=

3

2

，令g（x）=h（t）=t²-2mt+2，利用二次函数的性质，分类讨论求得h（t）的最小值．

解答： 解：（1）函数f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的定义域为R，关于原点对称，
且f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），a＞0且a≠1），故f（x）为奇函数．
（2）0＜a＜1，解不等式f（x²+6x）+f（4-x）＜0，即 f（x²+6x）＜f（x-4）
又f（x）=a^x-a^-x 在R上单调递减，∴x²+6x＞x-4，解得 x＜-4，或x＞-1，
故不等式的解集为{x|x＜-4，或x＞-1}．
（3）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，解得a=2，或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=2^x-2^-x，则g（x）=t²-2mt+2，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

），
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，（舍去）
综上可知m=2．

点评：本题主要考查求函数的定义域，函数的单调性的应用，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题．