Question

已知函数f（x）=lg

1+ax

1-x

（a＞0）为奇函数，函数g（x）=1+x+

b

1-x

（b∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）当x∈[

1

3

，

1

2

]时，关于x的不等式f（x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数成立的条件即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）根据对数的运算法则和对数函数的性质解不等式即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=lg

1+ax

1-x

(a＞0)为奇函数得f（-x）+f（x）=0，
即lg

1-ax

1+x

+lg

1+ax

1-x

=lg

1-a2x2

1-x2

=0，
所以

1-a2x2

1-x2

=1，解得a=1，
经检验符合题意，故f(x)=lg

1+x

1-x

，
所以f（x）的定义域是（-1，1）；

（Ⅱ）不等式f（x）≤lgg（x）等价于

1+x

1-x

≤1+x+

b

1-x

，
即b≥x²+x在x∈[

1

3

，

1

2

]有解，
故只需b≥（x²+x）_min，
函数y=x2+x=(x+

1

2

)2-

1

4

在x∈[

1

3

，

1

2

]单调递增，
所以ymin=(

1

3

)2+

1

3

=

4

9

，
所以b的取值范围是[

4

9

，+∞)．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的单调性是解决本题的关键．