Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）利用“错位相减法”，等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）n=1时，a₁=1．
∵2S_n=3a_n-1，∴2S_n+1=3a_n+1-1，
∴a_n+1=3a_n，
∴a_n=3^n-1．
（2）∵b_n=n?3^n-1，
∴T_n=1?3⁰+2?3¹+3?3²+…+（n-1）?3^n-2+n?3^n-1，
3 T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+（n-1）?3^n-1+n?3ⁿ，
两式相减可得-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n?3ⁿ，
∴T_n=

2n-1

4

?3ⁿ+

1

4

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．