Question

已知关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤（a+

1

b

）（

1

a

+b）对任意正实数a、b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用,不等式

分析：将不等式的右边化简，运用基本不等式可得最小值为4，则需解不等式|x+1|+|x-2|≤4，讨论当x≤-1时，当-1＜x＜2时，当x≥2时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．

解答： 解：由于a，b＞0，（a+

1

b

）（

1

a

+b）=2+ab+

1

ab

≥2+2

ab• 1 ab

=4，当且仅当ab=1时取“=”号，
∴（a+

1

b

）（

1

a

+b）的最小值为4，
∴|x+1|+|x-2|≤4，
当x≤-1时，-x-1+2-x≤4，解得，x≥-

3

2

，则有-

3

2

≤x≤-1；
当-1＜x＜2时，x+1+2-x≤4，即3≤4成立，则有-1＜x＜2；
当x≥2时，x+1+x-2≤4，解得，x≤

5

2

，则有2≤x≤

5

2

．
综上x的取值范围是[-

3

2

，

5

2

]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用：求最值，考查不等式恒成立问题转化为求最值问题，考查运算能力，属于中档题．