Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求sinB的值；
（2）若b=2，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由已知化简可得sinA=3sinAcosB，即可求得sinB的值；
（2）由（1）得cosB=

1

3

，从而可由余弦定理解得a²的值，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵已知bcosC=（3a-c）cosB．
∴由正弦定理可得：sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
即有sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=3sinAcosB，
∵A为△ABC的内角，有sinA≠0，两边同时除以sinA，可解得cosB=

1

3

，
∴sinB=

2 2

3

．
（2）∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，…①
又∵已知b=2，a=c，由（1）知cosB=

1

3

∴由①可得：4=a²+a²-2a²×

1

3

，从而解得：a²=3
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

a²sinB=

2

．

点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基础题．