Question

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足

PA

•

PB

=4，点Q是点P关于直线y=x的对称点．
（Ⅰ）求点A、B的坐标；
（Ⅱ）求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,平面向量数量积的运算,轨迹方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令f'（x）=-3x²+3=0解得x=-1或x=1，从而得函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，进而求出点A、B的坐标；        
（Ⅱ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），得(-1-x0，-y0)•(1-x0，4-y.0)=x02-1-4y.0+y02=4，从而得到y²+x²-4x-5=0，即为Q的轨迹方程．

解答： 解：（Ⅰ）令f'（x）=-3x²+3=0解得x=-1或x=1，
当x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，
当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．                 
（Ⅱ）设Q（x，y），P（x₀，y₀），
∵

PA

•

PB

=4，
∴(-1-x0，-y0)•(1-x0，4-y.0)=x02-1-4y.0+y02=4，
∴x02+y02-4y0-5=0①，
又∵点Q是点P关于直线y=x的对称点，∴

x0=y y0=x

，代入①得：
y²+x²-4x-5=0，即为Q的轨迹方程．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，向量的运算，本题属于中档题．