Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=2•3^ax-4^x．
（1）求函数g（x）的解析式；     
（2）求函数g（x）在x∈[-1，1]上的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,有理数指数幂的化简求值

专题：计算题,函数思想,函数的性质及应用

分析：（1）运用f（x）=3^x，f（a+2）=18计算求解
（2）根据指数型函数特点，换元利用二次函数的单调性求最值

解答： 解：（1）由已知3^a+2=18，∴3^a=2，∴g（x）=3^ax-4^x=2•（3^a）^x-4^x=2•2^x-4^x．
  即函数g（x）=-2（2^x）²+2•2^x
（2）令t=2^x，则g(x)=h(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1，t∈[

1

2

，2]，∴h（t）_max=h（1）=1，
又h(

1

2

)=

3

4

，h(2)=0，∴h（t）_min=0，
即函数g（x）在x∈[-1，1]的上值域为[0，1]．

点评：本题考查了指数函数的概念，换元法转化为二次函数问题求解，充分考查了换元思想．二次函数的性质