Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²+4x-3lnx在（t，t+1）不单调，求t的范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先由函数求f′（x）=-x+4-

3

x

，再由“函数f（x）在（t，t+1）上不单调”转化为“f′（x）=-x+4-

3

x

=0在区间（t，t+1）上有解”进而转化为：g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解，用二次函数的性质研究．

解答： 解：∵函数f（x）=-

1

2

x²+4x-3lnx，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

，
∵函数f（x）在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

=0在（t，t+1）上有解
∴

x2-4x+3

x

=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在（t，t+1）上有解
∴g（t）g（t+1）≤0或

t＜2＜t+1 g(t)≥0 g(t+1)≥0 △=4＞0

，
∴0＜t＜1或2＜t＜3．

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．