Question

已知定义在实数集R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x）．
（1）若函数f（x）有三个零点，并且已知x=0是f（x）的一个零点．求f（x）的另外两个零点；
（2）若函数f（x）是偶函数，且当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1．求f（x）在[-4，0]上的解析式．

Answer 1

考点：函数的零点,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（2+x）=f（2-x）及f（0）=0知f（4）=f（0）=0，从而得到4也是f（x）的一个零点．再由有三个零点知f（2）=0．从而确定零点．
（2）先求x∈[0，4]时的函数解析式f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；再由[-4，0]上的解析式．

解答： 解：（1）由题意，可知f（2+x）=f（2-x）恒成立，
即函数图象关于x=2对称．
又因为f（0）=0，0关于x=2对称的数为4，
得f（4）=f（0）=0．
∴4也是f（x）的一个零点．图象关于x=2对称且有三个零点，则只有f（2）=0．
∴f（x）另外两个零点为2，4．
（2）设x∈[2，4]，则该区间关于x=2对称的区间为[0，2]．
x关于x=2对称的点为4-x，即4-x∈[0，2]，
4-x满足f（x）=2x-1，得f（x）=7-2x．
∴在x∈[0，4]时，f（x）=

2x-1，x∈[0，2] 7-2x，x∈[2，4]

；
又∵f（x）为偶函数，
可得x∈[-4，0]的解析式为f（x）=

7+2x，x∈[-4，-2] -2x-1，x∈[-2，0]

．

点评：本题考查了函数的性质的应用及函数解析式的求法，属于基础题．