题目内容
如图，已知正三角形ABC的边长为1，设| AB |
| a |
| AC |
| b |
（Ⅰ）若D是AB的中点，用
| a |
| b |
| CD |
（Ⅱ）求2
| a |
| b |
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（Ⅰ）运用中点的向量表示及向量的三角形法则，即可得到所求向量；
（Ⅱ）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，计算即可得到夹角．
（Ⅱ）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，计算即可得到夹角．
解答：
解：（Ⅰ）
=
-
=
-
=
-
；
（Ⅱ）由题意知，|
|=|
|=1，
与
的夹角为60°，
则
•
=1×1×
=
，
（2
+
）•（-3
+2
）=-6
2+
•
+2
2=-6+
+2=-
，
|2
+
|=
=
=
=
，
|-3
+2
|=
=
=
=
设2
+
与-3
+2
的夹角为θ，则cosθ=
=-
，
所以2
+
与-3
+2
的夹角为120°．
| CD |
| AD |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
（Ⅱ）由题意知，|
| a |
| b |
| a |
| b |
则
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
|2
| a |
| b |
(2
|
4
|
4+4×
|
| 7 |
|-3
| a |
| b |
(-3
|
9
|
9-12×
|
| 7 |
设2
| a |
| b |
| a |
| b |
(2
| ||||||||
|2
|
| 1 |
| 2 |
所以2
| a |
| b |
| a |
| b |
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查中点的向量表示，向量的三角形法则，考查向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．
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