Question

（1）设tanα=-

1

2

，计算sin²a-sinacosa-2cos²a；
（2）已知cos（75⁰+α）=

1

3

，α是第三象限的角，求cos（105⁰-α）+sin（α-105⁰）的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，把tanα的值代入计算即可求出值；
（2）根据（75°+α）+（105°-α）=180°，（75°+α）-（α-105°）=180°，利用诱导公式求出原式各项的值，代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵tanα=-

1

2

，
∴原式=

sin2α-sinαcosα-2cos2α

sin2α+cos2α

=

tan2a-tana-2

tan2a+1

=-1；
（2）∵（75°+α）+（105°-α）=180°，（75°+α）-（α-105°）=180°，
∴cos（105°-α）=cos[180°-（75°+α）]=-cos（75°+α）=-

1

3

，sin（α-105°）=sin[（75°+α）-180°]=-sin（75°+α），
∵cos（75°+α）=

1

3

，
∴sin²（75°+α）=1-cos²（75°+α）=

8

9

，
又∵α是第三象限的角，α+75°可能在第三、第四或y轴的负半轴上，且cos（75°+α）=

1

3

＞0，
∴α+75°在第四象限，
∴sin（α-105°）=sin[（75°+α）-180°]=-sin（75°+α）=

2 2

3

，
则cos（105°-α）+sin（α-105°）=

2 2 -1

3

．

点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．