Question

18．点P是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上的一点，F₁和F₂是焦点，且$∠{F_1}P{F_2}={60^0}$，则△F₁PF₂的周长为6，△F₁PF₂的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，△F₁PF₂的周长为丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨=2a+2c=6，由丨PF₁丨²+丨PF₂丨²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨=16，利用余弦定理可知：丨PF₁丨²+丨PF₂丨²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨=4，即可求得丨PF₁丨•丨PF₂丨=4，△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60；利用焦点三角形的面积公式S=b²$\frac{sinθ}{1+cosθ}$=b²tan$\frac{θ}{2}$，即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
由椭圆的定义可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，
△F₁PF₂的周长为丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨=2a+2c=6，
∴△F₁PF₂的周长为6，
方法一：将丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=4，两边平方，得丨PF₁丨²+丨PF₂丨²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨=16，（1）
在△F₁PF₂中，由丨F₁F₂丨=2c，∠F₁PF₂=60°，
由余弦定理，得丨PF₁丨²+丨PF₂丨²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨cos60°=丨F₁F₂丨²=4
即丨PF₁丨²+丨PF₂丨²+2丨PF₁丨•丨PF₂丨=4，（2）
（1）-（2），得：3丨PF₁丨•丨PF₂丨=12，
∴丨PF₁丨•丨PF₂丨=4．
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨•丨PF₂丨sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
方法二：设∠F₁PF₂=θ，由焦点三角形的面积公式可知：S=b²$\frac{sinθ}{1+cosθ}$=b²tan$\frac{θ}{2}$=3×tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
故答案为：6，$\sqrt{3}$，

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，焦点三角形的面积公式，余弦定理，考查计算能力，属于中档题．