Question

16．设函数f（x）=2^|x+a|-|x-b|，
（1）当a=1，b=-1时，求使f（x）≥2$\sqrt{2}$的x取值范围；
（2）若f（x）≥$\frac{1}{32}$恒成立，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接运用“零点分段法”解函数绝对值不等式；
（2）运用绝对值三角不等式得，|x+a|-|x+b|≤|x+a-x-b|=|a-b|，再直接求出a-b的取值范围．

解答 解：（1）由于y=2^x是增函数，
不等式：f（x）≥2$\sqrt{2}$等价于：|x+1|-|x-1|≥$\frac{3}{2}$，
①当x≥1时，|x+1|-|x-1|=2，不等式恒成立；
②当-1＜x＜1时，|x+1|-|x-1|=2x，不等式化为，2x≥$\frac{3}{2}$，即$\frac{3}{4}$≤x＜1；
?③当x≤-1时，|x+1|-|x-1|=-2，无解；
综上以上讨论得，x取值范围是[$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）f（x）≥$\frac{1}{32}$?|x+a|-|x+b|≥-5，
由绝对值三角不等式得，
|x+a|-|x+b|≤|x+a-x-b|=|a-b|，
所以，-|a-b|≤|x+a|-|x+b|≤|a-b|，
要使原不等式恒成立只需：-|a-b|≥-5，
可得a-b的取值范围是：[-5，5]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，运用了零点分段法和绝对值三角不等式，体现了分类讨论的解题思想，属于中档题．