Question

11．若两个函数的图象有一个公共点，并在该点处的切线相同，就说这两个函数有why点．已知函数f（x）=lnx和g（x）=e^m•e^x有why点，则m所在的区间为（　　）

• A． $（{-2，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-\frac{3}{2}，-1}）$
• C． $（{-\frac{5}{2}，-2}）$
• D． $（{-1，-\frac{1}{3}}）$

Answer 1

分析 设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），求导数，建立方程组，求得alna=1，确定a的范围，再由m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）确定单调递增，即可得到m的范围．

解答 解：设f（x）和g（x）的公共点为（a，b），（a＞0），
函数f（x）=lnx的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$，
g（x）=e^x+m有的导数为g′（x）=e^x+m，
即有$\frac{1}{a}$=e^a+m，lna=e^a+m，
即为alna=1，
令h（a）=alna-1，可得h（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$ln$\frac{3}{2}$-1＜0，h（2）=2ln2-1＞0，
即有$\frac{3}{2}$＜a＜2，
则m=-lna-a=-（a+$\frac{1}{a}$）∈（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{13}{6}$），-$\frac{13}{6}$＜-2．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，解题的关键是分离参数，确定函数的单调性，属于中档题．