Question

已知集合A={x|x=a₀+a₁×3+a₂×3²+a₃×3³}，其中a_i∈{1，2，3}（i=0，1，2，3}且a₃≠0，则A中所有元素之和等于（　　）

• A、3 240
• B、3 120
• C、2 997
• D、2 889

Answer 1

考点：计数原理的应用,数列的求和

专题：综合题,排列组合

分析：由题意可知a₀，a₁，a₂各有3种取法（均可取0，1，2），a₃有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．

解答： 解：由题意可知，a₀，a₁，a₂各有3种取法（均可取0，1，2），a₃有2种取法（可取1，2），由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，
∴当a₀取0，1，2时，a₁，a₂各有3种取法，a₃有2种取法，共有3×3×2=18种方法，即集合A中含有a₀项的所有数的和为（0+1+2）×18；
同理可得集合A中含有a₁项的所有数的和为（3×0+3×1+3×2）×18；
集合A中含有a₂项的所有数的和为（3²×0+3²×1+3²×2）×18；
集合A中含有a₃项的所有数的和为（3³×1+3³×2）×27；
由分类计数原理得集合A中所有元素之和：
S=（0+1+2）×18+（3×0+3×1+3×2）×18+（3²×0+3²×1+3²×2）×18+（3³×1+3³×2）×27
=18（3+9+27）+81×27=702+2 187=2 889．
故选D．

点评：本题考查数列的求和，考查分类计数原理与分步计数原理的应用，考查分类讨论与转化思想的综合应用，属于难题．