Question

已知函数f（x）=x-xlnx，若对任意正整数n，有a_n+1=f（a_n），则用a₁表示a_n+1=

 

．（可用求和符号）

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出a_n+1=f（a_n），对应的表达式，利用累加法即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=x-xlnx，若对任意正整数n，有a_n+1=f（a_n），
∴a_n+1=f（a_n）=a_n-a_nlna_n，
∴a_n+1-a_n=-a_nlna_n，
即a₂-a₁=-a₁lna₁，
a₃-a₂=-a₂lna₂，
…
a_n-1-a_n-2=-a_n-2lna_n-2，
a_n-a_n-1=-a_n-1lna_n-1，
a_n+1-a_n=-a_nlna_n，
两边同时相加得
a_n+1-a₁=-

n

k=1

(aklnak)，
∴a_n+1=a₁-

n

k=1

(aklnak)．
故答案为：a₁-

n

k=1

(aklnak)．

点评：本题主要考察对数的基本运算，利用累加法是解决本题的关键．