Question

13．已知函数f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²，给下列三个命题：
p₁：若x∈R，则f（x）f（-x）的最大值为16；
p₂：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|-1＜x＜3}的真子集；
p₃：当a＞0时，若?x₁，x₂∈[a，a+2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，则a≥3，
那么，这三个命题中所有的真命题是（　　）

• A． p₁，p₂，p₃
• B． p₂，p₃
• C． p₁，p₂
• D． p₁

Answer 1

分析 给出f（x）f（-x）的表达式，结合基本不等式，可判断p₁，在同一坐标系中作出函数f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²的图象，数形结合，可判断p₂，p₃

解答 解：∵函数f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²，
∴f（x）f（-x）=（2^x-5）（2^-x-5）=26-5（2^x+2^-x）≤26-10$\sqrt{{2}^{x}{2}^{-x}}$=16，
故p₁：若x∈R，则f（x）f（-x）的最大值为16，为真命题；
在同一坐标系中作出函数f（x）=2^x-5，g（x）=4x-x²的图象如下图所示：

由图可得：p₂：不等式f（x）＜g（x）的解集为集合{x|-1＜x＜3}的真子集，为真命题；
p₃：当a＞0时，若?x₁，x₂∈[a，a+2]，f（x₁）≥g（x₂）恒成立，则a≥3，为真命题；
故选：A

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的图象和性质，数形结合思想，基本不等式，难度中档．