Question

3．已知函数f（x）=a+$\frac{h（x）-3sinx}{h（x）}$（x∈R）存在最大值M和最小值N，若函数h（x）是R上的偶函数，且M+N=8．则实数a的值为3．

Answer 1

分析 由题可知，f（x）=a+1-$\frac{3sinx}{h（x）}$，令g（x）=$\frac{3sinx}{h（x）}$；由于h（x）是偶函数，sinx是奇函数，故g（x）为奇函数．
由于f（x）存在最大值与最小值，则g（x）也存在最大值和最小值；g（x）为奇函数，则g（x）_min+g（x）_max=0

解答 解：由题可知，f（x）=a+1-$\frac{3sinx}{h（x）}$，令g（x）=$\frac{3sinx}{h（x）}$；
由于h（x）是偶函数，sinx是奇函数，故g（x）为奇函数．
由于f（x）存在最大值与最小值，则g（x）也存在最大值和最小值；
g（x）为奇函数，则g（x）_min+g（x）_max=0
f（x）=a+1-3g（x）
则f（x）_min+f（x）_max=2（a+1）-3[g（x）_min+g（x）_max]
由于g（x）_min+g（x）_max=0，M+N=8；
则有2（a+1）=8，⇒a=3．
故答案为：3

点评 本题主要考查了函数的奇偶性与对称性，函数的最值问题，属中等题．