Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，AD=
AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）证明：AD⊥平面PAC；
（3）求四面体PACM的体积．

Answer 1

分析 （1）连接MO，由已知可得O为BD的中点，又M为PD的中点，利用三角形中位线定理可得PB∥OM，再由线面平行的判定可得PB∥平面ACM；
（2）在△ADC中，由已知可得∠DAC=90°，即DA⊥AC，又PO⊥平面DAC，得PO⊥AD，由线面垂直的判定可得DA⊥平面PAC；
（3）由M为PD的中点得到M到平面PAC的距离，然后利用等积法求得四面体PACM的体积．

解答 （1）证明：连接MO，∵底面ABCD是平行四边形，且O为AC的中点，∴O为BD的中点，
又M为PD的中点，∴PB∥OM，
∵PB?平面ACM，OM?平面ACM，∴PB∥平面ACM；
（2）证明：在△ADC中，∵∠ADC=45°，AD=AC，∴∠DAC=90°，即DA⊥AC，
又PO⊥平面DAC，∴PO⊥AD，PO∩AC=O，
∴DA⊥平面PAC；
（3）解：在△PAC中，∵AC=1，PO=2，∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∵AD=1，且M为PD的中点，∴M到平面PAC的距离d=$\frac{1}{2}$．
则${V}_{P-AMC}={V}_{M-PAC}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判断，考查直线与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．