Question

已知函数f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，若f（-x）+f（x）＜2f（1），则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中函数f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，分当x＞0时，当x=0时，当x＜0时三种情况分类求解不等式f（-x）+f（x）＜2f（1），最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵函数f(x)=

x2+2x，x≥0 2x-x2，x＜0

，
当x＞0时，-x＜0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化为：-2x-x²+x²+2x＜6，
此时不等式恒成立，
当x=0时，-x=0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化为：0＜6，成立；
当x＜0时，-x＞0，
不等式f（-x）+f（x）＜2f（1）可化为：x²-2x+2x-x²+＜6，
此时不等式恒成立，
综上所述，实数x的取值范围是R，
故答案为：R

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答分段函数的基本思路，也是分类讨论思想最好的印证．