Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．
（1）求证：OC⊥PD；
（2）若PD与平面PAB所成的角为30⁰，求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OP，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．
（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D-PC-B的一个平面角，由此能求出二面角D-PC-B的余弦值．

解答 证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，
∴OP⊥OD，OP⊥OC，
∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，
∴OD⊥OC，…（4分）
又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，
∴OC⊥PD． …（6分）
解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，
∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角
∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，$PA=PB=\sqrt{3}$，
∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…（9分）
设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC
在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D-PC-B的一个平面角．
由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，$MN=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$PN=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∵$cos∠APB=\frac{3+3-4}{{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}}=\frac{1}{3}$，
∴$A{N^2}={（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）^2}+3-2×\frac{{2\sqrt{3}}}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{3}=3$，
∴ND²=3+1=4，
∴$cos∠DMN=\frac{{{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}^2}+3-4}}{{2×\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\sqrt{3}}}=-\frac{1}{3}$，
即二面角D-PC-B的余弦值-$\frac{1}{3}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．