Question

14．某几何体的三视图如图，则几何体的表面积为6+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥
底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，
其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，
在△PEB中，PB=$\sqrt{5}$，同理可得PC=$\sqrt{5}$，
∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，
∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，
在△PCD中，PD=$\sqrt{5+4}$=3，
同理可得PA=3，则PF⊥AD，
在△PDF中，PF=$\sqrt{9-1}$=2$\sqrt{2}$
∴此几何体的表面积S=2×2+$\frac{1}{2}×2×2$+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}+\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=6+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．
故答案为：6+2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力．