题目内容
1．已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A、B两种菜可供大家免费选择（每人都会选而且只能选一种菜）．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1=2000．（1）请用an、bn表示an+1与bn+1；
（2）证明：数列{an-2000}是常数列．
分析 （1）凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜，即可求得an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{2}{5}$bn，bn+1=$\frac{1}{5}$an+$\frac{3}{5}$；
（2）由an+bn=3000，将bn=3000-an，代入an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{2}{5}$bn，整理即可得到an+1-2000=$\frac{2}{5}$（an-2000），由a1-2000=0，故数列{an-2000}是常数列．
解答 解：（1）由题意知：an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{2}{5}$bn，bn+1=$\frac{1}{5}$an+$\frac{3}{5}$bn---------（6分）
（2）证明：∵an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{2}{5}$bn，且an+bn=3000，
∴an+1=$\frac{4}{5}$an+$\frac{2}{5}$（3000-an），
∴an+1=$\frac{2}{5}$an+1200-----（8分）
∴an+1-2000=$\frac{2}{5}$（an-2000）---------（10分）
又∵a1-2000=0，
∴数列{an-2000}是常数列．-------（12分）
点评 本题考查数列在实际问题中的应用，考查学生对数学知识的应用能力，关键是对题意的理解，是中档题．
练习册系列答案
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某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]．将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．则抽取的100名观众中“体育迷”有15名．
12．
某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（ ）
某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（ ）| A． | 4π+16+4$\sqrt{3}$ | B． | 5π+16+4$\sqrt{3}$ | C． | 4π+16+2$\sqrt{3}$ | D． | 5π+16+2$\sqrt{3}$ |
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．
已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=2AB=2BC=2，E，M分别是CC1，AB1的中点．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
| A． | 2$\sqrt{2}$ | B． | 2$\sqrt{3}$ | C． | 4 | D． | 5 |
13．三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图与侧视图如图所示，若三棱锥S-ABC的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
| A． | 84π | B． | 72π | C． | 60π | D． | 48π |
已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视图是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，侧视图是直角三角形，且三棱锥的外接球表面积为8π，则三棱锥的高为2．
11．已知定义在R上的函数f（x），其值域也是R，并且对任意x，y∈R，都有f（xf（y））=xy，则|f（2007）|等于（ ）
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 20072 | D． | 2007 |