Question

12．已知函数f（x）=|3x+2|．
（1）解不等式f（x）＜4-|x-1|；
（2）已知2m+n=1（m，n＞0），若|3x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接运用零点分段法求解含绝对值不等式；
（2）先求出$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为8，再用绝对值三角不等式将问题等价为：|a+2|≤8，解出即可．

解答 解：（1）不等式：f（x）＜4-|x-1|可写成，
|3x+2|+|x-1|＜4，用“零点分段法”解答如下：
①当x≥1时，3x+2+x-1＜4，x∈∅；
②当-$\frac{2}{3}$≤x＜1时，3x+2-x+1＜4，解得，-$\frac{2}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$；
③当x＜-$\frac{2}{3}$时，-3x-2-1+x＜4，解得，-$\frac{5}{4}$＜x＜-$\frac{2}{3}$，
综合以上讨论得，不等式的解集为：{x|-$\frac{5}{4}$＜x＜$\frac{1}{2}$}；
（2）因为2m+1=1，且m＞0，n＞0，
所以，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=2+2+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥8，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值为8，
根据题意问题等价为：|3x-a|-f（x）≤8恒成立，
即|3x-a|-|3x+2|≤8对任意实数x恒成立，
再由绝对值三角不等式得，
|3x-a|-|3x+2|≤|a+2|≤8，
解得，a∈（0，6]，
所以，实数a的取值范围为：（0，6]．

点评 本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的应用和不等式恒成立问题的解法，考查了分类讨论与等价转化思想，属于中档题．