Question

13．已知α，β均为锐角，且sinα=$\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，tanβ=$\frac{2}{3}$．
（1）求α+β的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，利用两角和的正切函数公式可求tan（α+β）的值，结合范围α+β∈（0，π），即可得解α+β的值；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ，cosβ的值，由（1）可知α+2β=$\frac{π}{4}+β$，利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为α为锐角，且$sinα=\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，
所以$cosα=\frac{{5\sqrt{26}}}{26}$，$tanα=\frac{1}{5}$，
因为$tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{1}{5}+\frac{2}{3}}}{{1-\frac{1}{5}×\frac{2}{3}}}=1$，
又因为α+β∈（0，π），
所以$α+β=\frac{π}{4}$．
（2）因为β为锐角，且$tanβ=\frac{2}{3}$，
所以$sinβ=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，$cosβ=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，
所以$cos（α+2β）=cos（β+\frac{π}{4}）=cosβcos\frac{π}{4}-sinβsin\frac{π}{4}=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{2\sqrt{13}}}{13}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{26}}}{26}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．