题目内容

3．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱A1B1的中点，点Q在侧面DCC1D1内运动，给出下列结论：
①若BQ⊥A1C，则动点Q的轨迹是线段；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，则动点Q的轨迹是圆的一部分；
③若∠QBD1=∠PBD1，则动点Q的轨迹是椭圆的一部分；
④若点Q到AB与DD1的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线的一部分．
其中结论正确的是①②（写出所有正确结论的序号）．

分析 建立如图所示的坐标系，分别求出相应的轨迹方程，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，则A1（1，0，1），C（0，1，0），B（1，1，0），Q（0，y，z），0≤y≤1，0≤z≤1，$\overrightarrow{BQ}$=（-1，y-1，z）
①若BQ⊥A1C，（-1，y-1，z）•（-1，1，-1）=0，∴1+y-1-z=0，∴y-z=0（0≤y≤1，0≤z≤1），
则动点Q的轨迹是线段，正确；
②若|BQ|=$\sqrt{2}$，则1+（y-1）2+z2=2，∴（y-1）2+z2=1（0≤y≤1，0≤z≤1），
∴动点Q的轨迹是圆的一部分，正确；
③Q在以B为顶点，BD1为对称轴，PQ为直径的圆为底面的圆锥与平面CC1D1D的交面上，一条母线为BP，而BP∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，不正确；
④若点Q到AB与DD1的距离相等，则y=$\sqrt{1+{z}^{2}}$，∴y2-z2=1，
∴动点Q的轨迹是双曲线的一部分，不正确．
故答案为：①②．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，正确建立坐标系求方程是关键．

练习册系列答案
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