Question

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2b-a}{c}$．
（1）求$\frac{sinB}{sinA}$的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{4}$，c=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$，进而利用三角函数恒等变换的应用即可化简得解$\frac{sinB}{sinA}$的值．
（2）由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$，由（1）可知$\frac{sinB}{sinA}=2$，利用正弦定理可得$\frac{b}{a}=2$，结合c=2即可求得b，a的值，利用三角形面积公式即可计算得解△ABC的面积S．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{cosA-2cosB}{cosC}=\frac{2sinB-sinA}{sinC}$，
整理得sin（A+C）=2sin（B+C），
又∵A+B+C=π，
∴sinB=2sinA，即$\frac{sinB}{sinA}=2$，
（2）由余弦定理可知$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{4}$①，
由（1）可知$\frac{sinB}{sinA}=2$，即$\frac{b}{a}=2$②，
再由c=2，③，由①②③联立求得b=2，a=1，
又$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
可得：$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．