Question

4．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）•（{{y_i}-\overline y}）}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}•（{{y_i}-\overline y}）$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1 469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x}$i，$\overline w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^{8}$w_i．
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x．根据（2）的结果回答下列问题：
①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{{v_i}-\overline v}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （1）根据散点图，即可判断出，
（2）先建立中间量w=$\sqrt{x}$，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（3）①年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
②求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（1）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程．
由于 d=$\frac{108.8}{.6}$=68，c=$\overline{y}$-d$\overline{w}$=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y=100.6+68w，
因此y关于w的线性回归方程为y=100.6+68$\sqrt{x}$．
（3）①由（2）知，当x=49时，
年销量y的预报值y=100.6+68•$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值z=576.6×0.2-49=66.32．
②根据（2）的结果知，年利润z的预报值z=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12．
所以当$\sqrt{x}$=$\frac{13.6}{2}$=6.8，即x=46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．