Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），
（1）当a=2时，求y=f（x）在点x=1的切线方程；
（2）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围；
（3）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2，f（x）=x³-6x，f′（x）=3x²-6，求出切线的斜率k=f′（1）=-3，进而求出y=f（x）在点x=1的切线方程即可；
（2）法1：f′（x）=3x²-3a，直线x+y+m=0即y=-x+m，依题意，切线斜率k=f′（x）=3x²-3a≠-1，即3x²-3a+1=0无解，根据△＜0，求出a的取值范围即可；
法2：f′（x）=3x²-3a≥-3a，要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，当且仅当-1＜-3a时成立，求出a的取值范围即可；
（3）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值；然后分两种情况：①当a≤0时和②当a＞0时，讨论求出g（x）的最大值F（a）的解析式即可．

解答： 解：（1）当a=2，f（x）=x³-6x，f′（x）=3x²-6，
∴k=f′（1）=-3，
∴y=f（x）在点x=1处的切线方程为y-（-5）=-3（x-1），
即3x+y+2=0；
（2）法1：f′（x）=3x²-3a，直线x+y+m=0即y=-x+m，
依题意，切线斜率k=f′（x）=3x²-3a≠-1，即3x²-3a+1=0无解，
∴△=0-4×3（-3a+1）＜0，
∴a＜

1

3

；
法2：f′（x）=3x²-3a≥-3a，
要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，
当且仅当-1＜-3a时成立，
∴a＜

1

3

；
（3）因为g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值；
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴g（x）=f（x），
F（a）=f（1）=1-3a；
②当a＞0时，f′（x）=3x²-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）当

a

≥1，即a≥1，
g（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，
此时F（a）=-f（1）=3a-1；
（ⅱ）当0＜

a

＜1，即0＜a＜1时，
f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1时，
g（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，

a

]上单调递增，在[

a

，1]单调递减，
F（a）=-f（

a

）=2a

a

；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

，
（ⅰ）当-f（

a

）≤f（1）=1-3a，即0＜a≤

1

4

时，F（a）=f（1）=1-3a，
（ⅱ）当-f（

a

）＞f（1）=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

时，F（a）=-f（

a

）=2a

a

，
综上，可得F（x）=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．

点评：此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．