Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|
（Ⅰ）当a=4时，写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a=4时，求f（x）在区间（1，

9

2

）上的最值；
（Ⅲ）设a≠0函数f（x）在（p，q）上既有最大值又有最小值，请分别求出p，q的取值范围（用a表示）．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=4时，f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，由此利用导数性质能求出单调增区间．
（Ⅱ）由f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，f′（x）＜0，得2＜x＜4，由此利用导数性质能求出f（x）在区间（1，

9

2

）上的最值．
（3）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

，作出函数的图象，利用数形结合思想能求出p，q的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|，
∴f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，
∴f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，由f′（x）＞0，得x＞4或x＜2，
∴单调增区间为（-∞，2]，[4，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=

x(x-4)，x∈[4，+∞) x(4-x)，x∈(-∞，4)

，
∴f′（x）=

2x-4，x≥4 4-2x，x＜4

，
由f′（x）＜0，得2＜x＜4，
f（x）在区间（1，

9

2

）上的最值为：
f（x）_max=f（2）=4，f（x）_min=f（4）=0…（8分）
（3）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

，…（10分）
①当a＞0时，图象如图1所示．
由

y= a2 4 y=x(x-a)

得x=

( 2 +1)a

2

．
∴0≤p＜

a

2

，a＜q≤

2 +1

2

a．…（12分）
②当a＜0时，图象如图2所示．
由

y=- a2 4 y=x(a-x)

得x=

1+ 2

2

a．
∴

2 +1

2

a≤p＜a，

a

2

＜q≤0．…（14分）

点评：本题考查的单调区间的求法，考查函数最值的求法，考查实数取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．