Question

已知函数f（x）=4x³-3x²sinθ+

1

32

，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ＜π．
（1）当θ=0时，判断函数f（x）是否有极值，说明理由；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）先求函数的导数，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函数的单调性，从而可判定是否有极值．
（2）求出极值点，f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，求出极小值，使函数f（x）的极小值小于零建立不等关系，求出参数θ的取值范围即可．

解答： 解：（1）当θ=0时，f（x）=4x³+

1

32

，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，
故无极值．
（2）f'（x）=12x²-6xsinθ
令f'（x）=0，解得x₁=0，x₂=

sinθ

2

，
由θ∈[0，π）知sinθ≥0，函数在（0，

sinθ

2

）上单调递减，在（

sinθ

2

，π）上单调递增，
因此，函数f（x）在x=

sinθ

2

处取得极小值f（

sinθ

2

）=-

1

4

sin³θ+

1

32

，
要使f（，π））＞0，必有-

1

4

sin³θ+

1

32

＞0
整理得0＜sinθ＜

1

2

，
又θ∈[0，π），
解得θ∈[0，

π

6

）∪（

5π

6

，π）．
所以θ的取值范围是θ∈[0，

π

6

）∪（

5π

6

，π）．

点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．