Question

已知A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），D（sinβ，0），α∈（

π

2

，

3π

2

），β∈（-

π

2

，

π

2

）．
（1）若

.

AC

⊥

.

BC

，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值
（2）若|

AC

|=|

BC

|，又

.

AD

在

.

AB

上投影为

4 2

3

，求cos（α-β）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）运用向量垂直的条件，即为数量积为0，结合二倍角公式和同角公式，化简即可得到；
（2）运用向量模的公式和向量的投影概念，得到α，β的正弦和余弦，再由两角差的余弦公式计算即可得到．

解答： 解：（1）由于A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
则

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
若

.

AC

⊥

.

BC

，则cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
化简可得，cosα+sinα=

1

3

，α∈（

π

2

，π）．
平方可得，1+2sinαcosα=

1

9

，
即有2sinαcosα=-

8

9

．
则

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sin2α+2sinαcosα

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

8

9

；
（2）若|

AC

|=|

BC

|，则（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，
化简可得，sinα=cosα，即tanα=1，
由α∈（

π

2

，

3π

2

），则α=

5π

4

．

AB

=（-3，3），

AD

=（sinβ-3，0）
则

.

AD

在

.

AB

上投影为

AD • AB

| AB |

=

3(3-sinβ)

3 2

=

4 2

3

，
即有sinβ=

1

3

，
由于β∈（-

π

2

，

π

2

），则cosβ=

1- 1 9

=

2 2

3

，
则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-

2

2

×

2 2

3

+（-

2

2

）×

1

3

=-

4+ 2

6

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查向量垂直的条件和向量的投影的定义，考查三角函数的恒等变换公式的运用：化简和求值，考察运算能力，属于中档题．